| 1. | Every elliptic operator with C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} coefficients is hypoelliptic.
Tout opérateur elliptique à coefficients C ∞ |
| 2. | Let L be an elliptic operator of order 2k with coefficients having 2k continuous derivatives.
Soit L un opérateur elliptique d'ordre 2k dont les coefficients sont 2k continûment dérivables. |
| 3. | Any differential operator exhibiting this property is called a hypoelliptic operator; thus, every elliptic operator is hypoelliptic.
Tout opérateur différentiel ayant cette propriété est appelé opérateur hypoelliptique ; ainsi, tout opérateur elliptique est hypoelliptique. |
| 4. | The property also means that every fundamental solution of an elliptic operator is infinitely differentiable in any neighborhood not containing 0.
Cette propriété implique également que toute solution fondamentale d'un opérateur elliptique est infiniment dérivable sur tout voisinage ne contenant pas l'origine. |
| 5. | More precisely, an elliptic operator D on a compact manifold has a (non-unique) parametrix (or pseudoinverse) D′ such that DD′−1 and D′D−1 are both compact operators.
Plus précisément, un opérateur elliptique D sur une variété compacte admet un pseudo-inverse D′ (non unique) tel que DD′ − 1 et D′D − 1 sont tous deux des opérateurs compacts. |
| 6. | If Y is a sphere and X is some point embedded in Y, then any elliptic operator on Y is the image under i! of some elliptic operator on the point.
Si Y est une sphère et que X est un point plongé dans Y, tout opérateur elliptique sur Y est l'image par i! d'un opérateur elliptique sur le point. |
| 7. | If Y is a sphere and X is some point embedded in Y, then any elliptic operator on Y is the image under i! of some elliptic operator on the point.
Si Y est une sphère et que X est un point plongé dans Y, tout opérateur elliptique sur Y est l'image par i! d'un opérateur elliptique sur le point. |
| 8. | This theorem can be interpreted in many ways; perhaps one of the most far-reaching has been as the index theorem for an elliptic differential operator on M, one of the simplest cases of the Atiyah-Singer index theorem.
Ce théorème admet de nombreuses interprétations ; parmi ses conséquences les plus lointaines se trouve le théorème de l'indice pour un opérateur elliptique sur M, lui-même un des cas les plus simples du théorème de l'indice d'Atiyah-Singer. |
| 9. | In the case when there are just two non-zero bundles in the complex this implies that the symbol is an isomorphism off the zero section, so an elliptic complex with 2 terms is essentially the same as an elliptic operator between two vector bundles.
Quand il n'y a que deux fibrés non nuls dans le complexe, cela implique que le symbole est un isomorphisme en dehors de la section nulle, ainsi un complexe elliptique à deux termes s'identifie à un opérateur elliptique entre deux fibrés vectoriels. |
| 10. | Example 3 For p a non-negative number, the p-Laplacian is a nonlinear elliptic operator defined by L ( u ) = − ∑ i = 1 d ∂ i ( | ∇ u | p − 2 ∂ i u ) . {\displaystyle L(u)=-\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\left(|\nabla u|^{p-2}\partial _{i}u\right).\,} A similar nonlinear operator occurs in glacier mechanics.
Exemple 3 Si p est un nombre positif ou nul, le p-laplacien (en) est un opérateur elliptique non-linéaire définie par L ( u ) = − ∑ i = 1 d ∂ i ( | ∇ u | p − 2 ∂ i u ) . |
